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코시 슈바르츠 공식 유래 한눈에 보기
코시 슈바르츠 공식 유래를 알면 이 부등식이 단순히 시험용 공식이 아니라 200년 전 수학자의 고민에서 나온 도구라는 사실이 보입니다. 오늘날 고등학교에서는 제곱의 합이 일정할 때 일차식의 최댓값과 최솟값을 구하는 데 사용합니다. 처음에는 무한히 이어지는 수의 합을 다루기 위해 필요했던 부등식이었습니다.
| 구분 | 산술평균과 기하평균 | 코시 슈바르츠 부등식 |
|---|---|---|
| 조건 | 두 수가 양수 | 실수면 충분 |
| 일정한 값 | 합 또는 곱 | 제곱의 합 |
| 얻는 값 | 최댓값이나 최솟값 중 하나 | 최댓값과 최솟값을 함께 |
| 등호 조건 | 두 값이 같을 때 | 두 비가 같을 때 |
이 표만 보아도 코시 슈바르츠 부등식이 다른 절대부등식과 다른 이유가 드러납니다. 양수라는 조건 없이 실수 전체에서 성립하고, 제곱을 벗기는 순간 위아래로 두 경계가 생깁니다. 이 점이 문제 풀이에서 가장 중요하게 작용합니다.
코시 슈바르츠 공식 유래 1821년 파리에서 시작되다
코시는 왜 이 부등식을 정리했을까
1821년 프랑스 파리에서 오귀스탱 루이 코시는 에콜 폴리테크니크에서 해석학을 가르치고 있었습니다. 그해에 낸 강의록이 바로 해석학 강의입니다. 이 책은 새로운 계산법을 소개한 책이 아니라, 그때까지 느슨하게 쓰이던 수학의 말들을 다시 정의한 책이었습니다. 무한히 작아진다는 말, 수렴한다는 말, 합이 존재한다는 말을 하나씩 붙잡아 뜻을 고정했습니다.
뜻을 고정하는 일에는 대가가 따랐습니다. 예전에는 대충 그렇다고 넘어가던 자리마다 증명이 필요해졌습니다. 특히 항이 무한히 이어지는 합을 다루려면 그 합이 얼마보다 크지 않다는 것을 먼저 보여야 할 때가 많았습니다. 값을 정확히 구하는 것이 아니라 위와 아래에서 눌러 가두는 일이 필요했던 것입니다.
그 강의록의 부록에 하나의 부등식이 들어 있습니다. 제곱의 합끼리 곱한 것이 곱의 합의 제곱보다 작지 않다는 내용입니다. 코시는 이것을 최댓값을 구하는 도구로 만들지 않았습니다. 무한합을 다루다가 필요해서 정리해 둔 것입니다. 이것이 코시 슈바르츠 공식 유래의 시작입니다.
세 사람의 이름이 붙은 이유
이후 부냐콥스키가 1859년에 적분으로 이어지는 꼴을 다루었고, 슈바르츠가 1880년대에 다시 정리하면서 세 사람의 이름이 함께 붙게 되었습니다. 고등학교 교과서는 그중 앞의 두 이름을 붙여 부릅니다. 나라와 분야에 따라 세 이름을 다 붙이기도 하고 둘만 붙이기도 합니다. 교과서가 다루는 것은 유한개의 수를 더하는 꼴이므로, 그 꼴을 처음 정리한 사람과 널리 알려진 이름을 붙여 부르는 것입니다.
200년 전 강의실에서 무한합을 가두려고 만든 도구가, 지금은 문자 두 개짜리 식의 최댓값을 재는 데 쓰입니다. 도구는 만들어진 목적보다 오래 살아남고, 대개는 처음 목적과 다른 일에 쓰이면서 살아남습니다. 코시 슈바르츠 공식 유래를 기억할 때 강의록 부록이라는 사실이 도움이 됩니다.
코시 슈바르츠 부등식의 핵심 의미
제곱의 합과 일차식을 잇는 한 줄
코시 슈바르츠 부등식은 a, b, x, y가 실수일 때 다음 식이 성립한다는 내용입니다.
(a² + b²)(x² + y²) ≥ (ax + by)²
등호는 x/a = y/b일 때 성립합니다. 문자가 셋으로 늘어나도 같은 모양입니다. 왼쪽은 제곱의 합끼리의 곱이고 오른쪽은 곱의 합의 제곱입니다. 소리 내어 읽어 보면 순서만 바뀐 것처럼 들리지만, 실제로는 제곱을 먼저 하고 더하는 쪽이 더하고 나서 제곱하는 쪽보다 작지 않다는 말입니다.
제곱은 음수가 되지 않아 다루기가 편합니다. 편한 것으로 불편한 것을 가두는 방식이 이 부등식의 발상입니다. 조건에 양수라는 말이 없다는 것도 함께 보아야 합니다. 앞의 절대부등식들에서 줄곧 확인하던 양수 조건이 여기서는 필요하지 않습니다. 제곱이 알아서 부호를 처리하기 때문입니다.
실전에서 활용되는 경우
제곱의 합이 일정하게 주어지면 일차식의 최댓값과 최솟값을 함께 얻을 수 있습니다. 예를 들어 x² + y² = 5라는 조건에서 x + 2y의 범위를 구하는 문제가 대표적입니다. (1² + 2²)(x² + y²) ≥ (x + 2y)² 꼴로 만들면 25 ≥ (x + 2y)²이 나오고, 제곱을 벗기면 −5 ≤ x + 2y ≤ 5가 됩니다.
이때 많은 학생이 최댓값만 구하고 멈춥니다. 제곱이 씌워진 부등식을 벗길 때는 경계가 두 개 생긴다는 사실을 놓치기 때문입니다. 최솟값은 −5이고, 등호 조건에서 x = 1, y = 2일 때 최댓값 5가 나오고 x = −1, y = −2일 때 최솟값 −5가 나옵니다.
도형에서는 직각을 먼저 찾는다
도형 문제에서 제곱의 합은 직각을 통해 들어옵니다. 지름의 길이가 5인 원에 내접하는 직사각형의 둘레의 최댓값을 구하는 문제를 예로 들어 보겠습니다. 직사각형의 두 대각선은 서로를 이등분하고 길이가 같으므로 대각선이 원의 지름이 됩니다. 따라서 한 꼭짓점에서 직각삼각형이 만들어지고, 두 변을 a, b라 하면 a² + b² = 25가 성립합니다.
구하는 둘레는 2(a + b)이므로 a + b의 최댓값을 구하면 됩니다. (1² + 1²)(a² + b²) ≥ (a + b)² 꼴로 만들면 50 ≥ (a + b)²이 나오고, a와 b가 길이이므로 a + b ≤ 5√2가 됩니다. 둘레는 10√2가 답입니다. 등호는 a = b일 때 성립하고, 그때 직사각형은 정사각형이 됩니다.
여기서는 유형 07과 달리 경계가 하나만 남았습니다. a와 b가 길이라서 음수가 될 수 없기 때문입니다. 같은 부등식이라도 문자가 길이인지 아닌지에 따라 경계 처리 방식이 달라집니다.
시험에서 자주 걸리는 지점
제곱을 벗기지 않고 멈추는 경우
25 ≥ (x + 2y)²에서 멈추고 25를 답 자리에 적는 답안이 나옵니다. 알아채는 방법은 마지막 줄에 남아 있는 식이 문제가 물은 식과 같은지 확인하는 것입니다. 문제는 x + 2y를 물었는데 손에 (x + 2y)²이 들려 있으면 아직 한 걸음 남았습니다.
등호 조건을 두 값이 같다고 쓰는 경우
앞의 절대부등식에서 등호 조건이 줄곧 두 값이 같을 때였기 때문에 여기서도 x = y라고 적게 됩니다. 이 부등식의 등호 조건은 x/a = y/b입니다. a와 b가 다르면 x와 y는 같지 않습니다. 등호 조건을 적을 때 분모 자리에 계수를 먼저 적고 분자를 나중에 적는 순서를 지키면 실수를 줄일 수 있습니다.
도형 문제에서 넓이를 먼저 떠올리는 경우
도형에서 최댓값을 물으면 넓이를 떠올리는 손이 빠릅니다. 그런데 문제가 물은 것은 둘레일 수 있습니다. 구하라고 한 식을 문제 옆 여백에 문자로 먼저 적어 두면 조건에서 무엇을 끌어내야 하는지 보입니다. 둘레를 묻는 문제라면 2(a + b)를 적어 두고 조건을 보는 것입니다.
정리하며 바라본 학습의 방향
지금까지 코시 슈바르츠 공식 유래를 1821년 코시의 강의록부터 시작해 부냐콥스키와 슈바르츠의 이름이 붙은 배경까지 살펴보았습니다. 이 부등식은 처음에 무한합을 가두는 도구로 태어났지만, 오늘날에는 제곱의 합을 조건으로 일차식의 범위를 구하는 데 쓰입니다. 앞선 절대부등식들이 합과 곱의 관계를 다룬다면, 코시 슈바르츠 부등식은 제곱의 세계와 일차식의 세계를 잇는 다리입니다.
핵심은 세 가지입니다. 첫째, 제곱의 합이 일정하면 일차식의 최댓값과 최솟값을 함께 얻습니다. 둘째, 제곱이 씌워진 부등식을 벗기면 경계가 두 개 생기고, 문자가 길이일 때만 아래쪽 경계가 떨어져 나갑니다. 셋째, 도형 문제에서는 지름에 대한 원주각이 직각이라는 성질을 먼저 찾아 제곱의 합을 세워야 합니다.
이제는 단순히 공식을 외우는 대신, 왜 이 도구가 필요했는지를 떠올리는 습관이 중요합니다. 다음에 원의 방정식을 배울 때도 같은 조건이 좌표로 나타납니다. 그때 이 부등식을 다시 떠올리면 보다 깊이 있게 받아들일 수 있습니다. 이상으로 코시 슈바르츠 공식 유래와 문제 풀이 관점을 정리했습니다.
자주 묻는 질문
Q: 이름이 왜 세 사람인데 교과서는 두 사람만 부르나요?
A: 코시가 1821년 강의록에서 합의 꼴을 정리했고, 부냐콥스키가 1859년에 적분으로 이어지는 꼴을 다루었으며, 슈바르츠가 1880년대에 다시 정리했습니다. 나라와 분야에 따라 세 이름을 다 붙이기도 하고 둘만 붙이기도 합니다. 우리 교과서가 다루는 것은 유한개의 수를 더하는 꼴이므로, 그 꼴을 처음 정리한 사람과 널리 알려진 이름을 붙여 부릅니다.
Q: 코시는 왜 이런 부등식이 필요했나요?
A: 항이 무한히 이어지는 합을 다루고 있었기 때문입니다. 그런 합은 값을 직접 구하기 어려운 경우가 많고, 대신 얼마보다 크지 않다는 것을 보이면 다룰 수 있게 됩니다. 위에서 눌러 가두는 도구가 필요했던 것이고, 제곱의 합이 그 역할을 맡았습니다. 최댓값 문제에 쓰이게 된 것은 한참 뒤의 일입니다.
Q: 산술평균과 기하평균의 관계로는 이런 문제를 못 푸나요?
A: 제곱의 합이 일정할 때 곱의 최댓값을 묻는다면 그 관계로 풀립니다. 하지만 이번에 다룬 문제들은 x + 2y와 a + b처럼 일차식의 합을 묻습니다. 제곱의 합에서 곱으로는 건너갈 수 있어도 일차식의 합으로는 건너가지 못합니다. 도구가 하나 더 필요한 이유가 여기 있습니다.
